Das kann durchaus sein, dass die Innenbeleuchtung 3V nimmt mit LED... aber dann müsste da ein Widerstand davor. Komisch das.
So oder so, die Innenbeleuchtung sollte nicht in der Lage sein, die Spannung runterzuziehen. Wenn sie einen Widerstand eingebaut hat, sollte die Spannung auf dem Weißen Kabel bei 12V bleiben und für die anderen Verbraucher zur Verfügung stehen. Wenn kein Widerstand da ist, sollte die LED blitzschnell durchbrennen.

Miss mal an der Batterie vorn. Neben dem Dicken Kabel zum Anlasser geht ein dünneres vom Pluspol ab, mit einer Sicherung oder einem Steckverbinder darin. Hinter diesem Steckverbinder sollten 12V sein, egal ob die Beleuchtung an oder aus ist. Falls nicht, ist diese Sicherung oder der Steckverbinder hin. Ist das nicht der Fall, und die 12V sind da, dann miss an der Sicherung nach - dort sollte immer noch 12V fest sein. Falls nicht, ist das Kabel irgendwo auf dem Weg zur Sicherung kaputt. Ansonsten miss direkt hinter der Sicherung - dort müssen auch immer 12V sein, wenn die innenbeleuchtung an ist. Falls nicht, Sicherung und Anschlüsse checken. Tipp: Die meisten KFZ-Sicherungen haben auf der Oberseite zwei kleine Kontakte zum Messen. der eine ist vor, der andere hinter der Sicherung. Bei meinem ist der obere die Zuleitung (also vor der Sicherung) und der untere die Leitung zum NSL-Schalter und zur Innenbeleuchtung und zur Hupe (also hinter der Sicherung). Bin nicht sicher ob das überall so ist, allerdings - aber wenn du die Sicherung ziehst, dann hat nur noch einer der Kontakte im Halter Saft, das ist dann "vor der Sicherung".
Du musst praktisch herausfinden, wo auf der Strecke Batterie - Hauptsicherung im Motorraum (Oder Steckverbinder, oder was auch immer bei dir drin sein könnte) - Kabel (Weiß/Gelb) zum Sicherungshalter - Sicherung - Kabel (Weiß) zum Schalter der NSL - NSL-Schalter - Kabel (Grün/Blau) zur NSL - Glühbirne die 12V zu 9V werden. Miss dabei immer mit dem Minuspol des Messgerätes gegen die Fahrzeugkarosserie.